【例3】设函数f(x)=-ax其中a>0求a的取值范围使函数f(x)在［0，+∞)上为单调函数.解:任取x1、x2∈［0+
更新时间： 2025-08-22 06:00:26
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问题描述：
【例3】设函数f(x)=-ax其中a>0求a的取值范围使函数f(x)在［0，+∞)上为单调函数.
解:任取x1、x2∈［0+∞)且x1<x2则
f(x1)-f(x2)=--a(x1-x2)
=-a(x1-x2)
=(x1-x2)(-a).
(1)当a≥1时∵<1
又∵x1-x2<0
∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2).
∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，+∞)上为减函数.
(2)当0<a<1时，在区间［0，+∞)上存在x1=0x2=满足f(x1)=f(x2)=1
∴0<a<1时，f(x)在［０+∞)上不是单调函数.
评注:①判断单调性常规思路为定义法;②变形过程中<1利用了>|x1|≥x1>x2这个结论;③从a的范围看还需讨论0<a<1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现.
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