异面直线所成角的问题已知M,N分别是棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'的面BCC'B'和A'B'C'D'的中心,求异面直线AM与DN所成的角.老师说用余旋定理做，可是我算出来是arccos2/3，人家都算出来是π/3
更新时间： 2025-08-22 18:32:22
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问题描述：
异面直线所成角的问题
已知M,N分别是棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'的面BCC'B'和A'B'C'D'的中心,求异面直线AM与DN所成的角.
老师说用余旋定理做，可是我算出来是arccos2/3，人家都算出来是π/3
廖庆斌回答：
按照题意,可以一般性给出各点坐标
A(0,0,0)、B(a,0,0)、C(a,a,0)、D(0,a,0)
A'(0,0,a)、B'(a,0,a)、C'(a,a,a)、D'(0,a,a)
M(a,a/2,a/2)、N(a/2,a/2,a)
AM向量：a*x+a/2*y+a/2*z
DN向量：a/2*x+-a/2*y+a*z
如此描述之后,相当于将DN平移致使D点与A点重合,至此两个向量构成三角形：AN'M,其中N'即N平移后的空间点.
求解此三角形有：
AM=√(3/2)*a
AN'=DN=√(3/2)*a
MN'=√(3/2)*a
等边三角形,所以两条线夹角为60度
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