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高中数学已知椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率e=√3/2焦点到椭圆上点的最短距已知椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率e=√3/2焦点到椭圆上点的最短距离为√2-3,设直线l:y=kx+1与椭圆
更新时间: 2024-04-25 19:21:13
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问题描述:

高中数学已知椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率e=√3/2焦点到椭圆上点的最短距

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率e=√3/2焦点到椭圆上点的最短距离为√2-3,设直线l:y=kx+1与椭圆交于MN两点,当丨MN丨=8√2/5时,求直线l的方程

梁增科回答:
  e=c/a=根号3/2,又焦点到椭圆的最短距离是2-根号3,则有a-c=2-根号3   故有a=2,c=根号3,b^2=a^2-c^2=1   故椭圆方程是x^2/4+y^2=1   y=kx+1代入椭圆中有:x^2+4(k^2x^2+2kx+1)=4   (1+4k^2)x^2+8kx=0   x1=0,x2=-8k/(1+4k^2)   NM=根号(1+k^2)*|x1-x2|=根号(1+k^2)*|8k|/(1+4k^2)=8根号2/5   解得|k|=1   即直线方程是y=土x+1
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