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高二数学急求答案已知函数f(x)=(x^2+2x)/(x+1)g(x)=2ln(x+1)-mf(x)当x>=0时恒有g(x)
更新时间: 2025-08-28 10:43:57
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问题描述:

高二数学急求答案

已知函数f(x)=(x^2+2x)/(x+1)g(x)=2ln(x+1)-mf(x)当x>=0时恒有g(x)

金瓯回答:
  f(x))=(x^2+2x)/(x+1)=x+1-1/(x+1)   则g(x)=2ln(x+1)-m(x+1)+m/(x+1)   令x+1=t ∵x≥0 ∴t≥1   g(x)转变为h(t)=2lnt-mt+m/t t≥1   则g(x)≤0即h(t)≤0,即h(t)最大值小于0   h'(t)=2/t-m-m/(t^2)=-(mt^2-2t+m)/(t^2)   ⑴当m=0时,h(t)=2lnt,h'(t)=2/t>0恒成立   ∴h(t)在[1,+∞)上单调递增   ∵当t→+∞时,h(t)=2lnt>0与题意矛盾,故舍去   ⑵当m<0时mt^2+m=m(t^2+1)<0,-2t<0 则 h'(t)>0   ∴h(t)在[1,+∞)上单调递增   ∵h(1)=0∴h(t)≥0恒成立与题意矛盾,故舍去   ⑶当m>0时,令m(t^2+1)-2t>0得m>2t/(t^2+1)即m>2/(t+1/t)   ∵t+1/t≥2当且仅当t=1时取“=”   ∴2/(t+1/t)≤1   ①若m≥1时, h'(t)=2/t-m-m/(t^2)=-(mt^2-2t+m)/(t^2)≤0   ∴h(t)在[1,+∞)上单调递减   ∵h(1)=0∴h(t)≤0恒成立   ②若0<m<1时,令h'(t)=-(mt^2-2t+m)/(t^2)=0得 t=[1+√(1+m^2)]/m   令h'(t)>0得1≤t<[1+√(1+m^2)]/m   令h'(t)<0得t>[1+√(1+m^2)]/m   ∴当t=[1+√(1+m^2)]/m时,h(t)取极大值也是最大值   ∴h([1+√(1+m^2)]/m)≤0即2ln([1+√(1+m^2)]/m)-2[1+√(1+m^2)]≤0   得当0<m<1成立   综上,m的取值范围为(0,+∞)
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