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请证明log2(3)>log3(4)即以2为底3的对数大于以3为底4的对数.这是高考前复习的一个数学题,当时做不出来,十年后用几种办法做出,当时难倒了多少数学高手.解法:log2(3)=lg3/lg2=lg27/lg8;log3(4)=
更新时间: 2025-08-18 12:29:00
2人问答
问题描述:

请证明log2(3)>log3(4)即以2为底3的对数大于以3为底4的对数.

这是高考前复习的一个数学题,当时做不出来,十年后用几种办法做出,当时难倒了多少数学高手.

解法:log2(3)=lg3/lg2=lg27/lg8;

log3(4)=lg4/lg3=lg16/lg9;

因为,

log2(3)/log3(4)=(lg27/lg8)(lg9/lg16)=(lg27/lg16)(lg9/lg8)>1,

所以,

log2(3)>log3(4).

解法:

log(2)3=lg3/lg2

log(3)4=lg4/lg3

log(2)3-log(3)4=lg3/lg2-lg4/lg3=[(lg3)^2-lg2lg4]/(lg2lg3)

因为分母lg2lg3大于0.因此只要比较分子的正负就可以判断二个数的大小

又根据基本不等式,简单推导如下:

若a,b是正数,则

[(a+b)/2]^2-ab=(a^2+2ab+b^2)/4-ab=[(a-b)/2]^2≥0

所以[(a+b)/2]^2≥ab,也就是ab≤[(a+b)/2]^2

在本题中的应用是

lg2lg4≤[(lg2+lg4)/2]^2

所以

(lg3)^2-lg2lg4

≥(lg3)^2-[(lg2+lg4)/2]^2

=(lg3)^2-(lg8/2)^2

=(lg3)^2-(lg√8)^2>0

∴log(2)3-log(3)4>0

∴log(2)3>log(3)4

解法:log2(3)>log2(2√2)=3/2=log3(3^(3/2))=log3(√27)>㏒3(√16)=㏒3(4)

姜宗顺回答:
  log2(3)-log3(4)=log2(3)-2log3(2)=log2(3)-2/log2(3)=[(log2(3))^2-2]/log2(3)=[(log2(3))^2-2log2(2)]/log2(3)=[(log2(3))^2-log2(4)]/log2(3)=(log2(3)+log2(4))(log2(3)-log2(4))/log2(3)∵log2(3)-log2(4)0...
郭椿标回答:
  应该加入(log2(3))^2>2,log2(3)>√2,log2(3)>3/2>√2才完美。还有其它的办法,奇妙的很!
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