已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足：a2?a3=45，a1+a4=14．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）通过公式构造一个新的数列{bn}．若{bn}也是等差数列，求非
更新时间： 2025-08-27 14:24:21
1人问答
问题描述：
已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足：a2?a3=45，a1+a4=14．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）通过公式构造一个新的数列{bn}．若{bn}也是等差数列，求非零常数c；
（Ⅲ）求（n∈N*）的最大值．
马磊忠回答：
分析：
（I）由已知中等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为sn，且满足a2a3=45，a1+a4=14，我们构造出关于首项和公差的方程，解方程求出首项和公差，即可得到数列{an}的通项公式．（II）根据（1）的结论，可得到sn的表达式，再根据，可得数列{bn}的前3项，根据{bn}也是等差数列，构造关于b的方程，即可求出非零常数c的值．（Ⅲ）=利用基本不等式求得其最大值即可．
（Ⅰ）∵数列{an}是等差数列，∴a2+a3=a1+a4=14．又a2a3=45，∴，或．（2分）∵公差d＞0，∴a2=5，a3=9．∴d=a3-a2=4，a1=a2-d=1．∴an=a1+（n-1）d=4n-3．（4分）（Ⅱ）∵，∴．（6分）∵数列{bn}是等差数列，∴2bn+1=bn+bn+2．∴．去分母，比较系数，得．（9分）∴．（10分）（Ⅲ）=≤．（12分）当且仅当，即n=5时，f（n）取得最大值．（14分）
点评：
本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中求等差数列的通项公式时，根据已知构造出关于首项和公差的方程，是最常用的办法．
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