【设函数F（x）=ex+sinx-ax．（1）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒不在y=F（-x）的图象下方，求实数a的取值范围．】
更新时间： 2025-08-29 16:16:09
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问题描述：
设函数F（x）=ex+sinx-ax．
（1）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；
（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒不在y=F（-x）的图象下方，求实数a的取值范围．
梁浩回答：
（1）函数F（x）=ex+sinx-ax的导函数F′（x）=ex+cosx-a
∵x=0是F（x）的极值点，∴F′（0）=1+1-a=0
解得a=2
又当a=2时，
x＜0时，F′（x）=ex+cosx-2＜0，x＞0时F′（x）=ex+cosx-2＞0
∴x=0是F（x）的极小值点
∴a=2
（2）令φ（x）=F（x）-F（-x）=ex-e-x+2sinx-2ax
则φ′（x）=ex+e-x+2cosx-2a
令S（x）=φ′′（x）=ex-e-x-2sinx
∵S′（x）=ex+e-x-2cosx≥0当x≥0时恒成立
∴函数S（x）在[0，+∞）上单调递增
∴S（x）≥S（0）=0当x≥0时恒成立
∴函数φ′（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴φ′（x）≥φ′（0）=4-2a当x≥0时恒成立
当a≤2时，φ′（x）≥0，函数φ（x）在[0，+∞）上单调递增，即φ（x）≥φ（0）=0
故a≤2时，F（x）≥F（-x）恒成立
当a＞2时，φ′（0）＜0，又∵φ′（x）在[0，+∞）上单调递增
∴总存在x0∈（0，+∞），使得在区间[0，x0）上φ′（x）＜0，导致φ（x）在[0，x0）上递减，而φ（0）=0
∴当x∈（0，x0）时，φ（x）＜0，这与题意不符，∴a＞2不合题意
综上，a的取值范围是（-∞，2]
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