已知二次函数y=x^2-ax+2(a-3)设这个函数的图象与x轴的两个交点为A,B,与y轴相交于C,当线段最短时,求三角形ABC的面积.
更新时间： 2025-08-20 01:17:40
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问题描述：
已知二次函数y=x^2-ax+2(a-3)
设这个函数的图象与x轴的两个交点为A,B,与y轴相交于C,当线段最短时,求三角形ABC的面积.
刘广生回答：
答：三角形ABC的面积=2√2
y=x^2-ax+2(a-3)
y=0,可求y=x^2-ax+2(a-3)与x轴的两个交点A、B的坐标：
x^2-ax+2(a-3)=0
x={a±√[a^2-4*1*2*(a-3)]}/(2*1)
=[a±√(a^2-8a+24)]/2
A、B两点的坐标为：
A{[a+√(a^2-8a+24)]/2,0}
B{[a-√(a^2-8a+24),]/2,0}
AB的长=xA-xB=√(a^2-8a+24)=√[(a-4)^2+8]≥2√2
a=4,AB线段最短=2√2
xA=[a+√(a^2-8a+24)]/2=2+√2
xB=2-√2
此时y=x^2-ax+2(a-3)变为：
y=x^2-4x+2
y+2=（x-2）^2
函数y=x^2-4x+2的顶点为（2,-2）,开口向上
令x=0,并把a=4,代入,可求得函数y=x^2-ax+2(a-3)与y轴的交点C的坐标
x=0
y=2*(a-3)=2*(4-3)=2
C点坐标(0,2)
y=2是△ABC底边AB的高
故S△ABC=y*AB*/2=(2*2√2)/2=2√2
即三角形ABC的面积=2√2
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