已知直线y=kx+1交抛物线y=x2于A、B两点.(1)求证:OA⊥OB（2）当△OAB面积为根号10的时候,求k值（3）求满足条件2是线段AB的长
更新时间： 2025-08-28 21:26:30
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问题描述：
已知直线y=kx+1交抛物线y=x2于A、B两点.(1)求证:OA⊥OB（2）当△OAB面积为根号
10的时候,求k值（3）求满足条件2是线段AB的长
刘小青回答：
1）
直线y＝kx+1交抛物线y＝x²于A、B两点
有如下关系
x²=kx+1
x²-kx-1=0
设A点坐标为(p,p²),B点坐标为(q,q²)
直线OA的斜率为p²/p=p,直线OB的斜率为q²/q=q
因为p,q是方程x²-kx-1=0得两个解,根据一元二次方程解得性质得
p+q=kpq=-1
所以OA⊥OB
（2）
A,B在y＝kx+1上
所以A点坐标又可表示为(p,kp+1),
B可表示为(q,kq+1),
|OA|²=p²+p^4
|OB|²=q²+q^4
(S△AOB)²=|OA|²*|OB|²/2²
（根号10）²=(p²+p^4)(q²+q^4)/4
p²q²+p²q²q²+p²p²q²+p^4q^4=40
将pq=-1代入得
(-1)²+(-1)²q²+p²(-1)²+(-1)^4=40
1+p²+q²+1=40
p²+q²=38
p²+q²+2pq=38+2pq
(p+q)²=36
k²=36
k=±6
（3）|AB|=根号下（xa-xb)^2+(ya-yb)^2ya=xa^2yb=xb^2
(xa-x)^2=xa^2+xb^2-2xaxb这题你分k=6和-6两种情况y=x^2与y=kx+1联立根与系数的关系（韦达定理）就能做出来
我明天早上还要考试今晚得早睡了这问实在没时间算了把思路给你你自己写吧~
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