（2012•日照一模）在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．
更新时间： 2025-08-29 04:54:56
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问题描述：
（2012•日照一模）在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（1）求证：BD⊥EG；
（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．
孙亚明回答：
解法1
（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，
∴AE⊥平面BCFE．…（2分）
过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．
∵EG⊂平面BCFE，
∴DH⊥EG．…（4分）
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，
∴EH=AD=2，
∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四边形BGHE为正方形，
∴BH⊥EG，…（6分）
又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，
∴EG⊥平面BHD．…（7分）
∵BD⊂平面BHD，
∴BD⊥EG．…（8分）
（2）∵AE⊥平面BCFE，AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面BCFE
由（1）可知GH⊥EF，∴GH⊥平面AEFD
∵DE⊂平面AEFD，∴GH⊥DE…（9分）
取DE的中点M，连接MH，MG
∵四边形AEHD是正方形，∴MH⊥DE
∵MH∩GH=H，MH⊂平面GHM，GH⊂平面GHM，∴DE⊥平面GHM，∴DE⊥MG
∴∠GMH是二面角G-DE-F的平面角，…（12分）
在△GMH中，GH＝2，MH＝2，MG＝6
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