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【∫(0π/2)(sinx)^8dx=(8-1)!/8!*(π/2)是怎么得到的?我就是想知道它的证明过程】
更新时间: 2025-08-30 01:05:14
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问题描述:

∫(0π/2)(sinx)^8dx=(8-1)!/8!*(π/2)是怎么得到的?

我就是想知道它的证明过程

吕思飞回答:
  有两种情况:   対于x∈[0,π/2],有   ∫(0,π/2)sinⁿxdx=∫(0,π/2)cosⁿxdx   =(n-1)!/n!,n≥3并且是奇数   =(n-1)!/n!*π/2,n≥2并且是偶数   证明,希望你能看明白吧,尤其是双阶乘的定义:   设f(n)=∫(0,π/2)sinⁿxdx   =-∫(0,π/2)sinⁿ⁻¹xd(cosx)   =-[sinⁿ⁻¹xcosx]|(0,π/2)+∫(0,π/2)cosxd(sinⁿ⁻¹x)   =(n-1)∫(0,π/2)sinⁿ⁻²xcos²xdx   =(n-1)∫(0,π/2)sinⁿ⁻²x(1-sin²x)dx   =(n-1)[f(n-2)-f(n)],循环   f(n)+(n-1)f(n)=(n-1)f(n-2)   ==>f(n)=(n-1)/n*f(n-2),n≥2   =(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*f(n-4)   =(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*(n-5)/(n-4)*f(n-6)   =...   当n是奇数:   则f(n)=[(n-1)(n-3)(n-5)...4*2]/[(n(n-2)(n-4)...5*3*1]*f(1)   =[(n-1)(n-3)(n-5)...4*2]/[(n(n-2)(n-4)...5*3*1]*1   =(n-1)!/n!   当n是偶数:   则f(n)=[(n-1)(n-3)(n-5)...3*1]/[n(n-2)(n-4)...4]*f(2)   =(n-1)(n-3)(n-5)...3*1]/[n(n-2)(n-4)...4*2]*π/2   =(n-1)!/n!*π/2
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