有两种情况:
対于x∈[0,π/2],有
∫(0,π/2)sinⁿxdx=∫(0,π/2)cosⁿxdx
=(n-1)!/n!,n≥3并且是奇数
=(n-1)!/n!*π/2,n≥2并且是偶数
证明,希望你能看明白吧,尤其是双阶乘的定义:
设f(n)=∫(0,π/2)sinⁿxdx
=-∫(0,π/2)sinⁿ⁻¹xd(cosx)
=-[sinⁿ⁻¹xcosx]|(0,π/2)+∫(0,π/2)cosxd(sinⁿ⁻¹x)
=(n-1)∫(0,π/2)sinⁿ⁻²xcos²xdx
=(n-1)∫(0,π/2)sinⁿ⁻²x(1-sin²x)dx
=(n-1)[f(n-2)-f(n)],循环
f(n)+(n-1)f(n)=(n-1)f(n-2)
==>f(n)=(n-1)/n*f(n-2),n≥2
=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*f(n-4)
=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*(n-5)/(n-4)*f(n-6)
=...
当n是奇数:
则f(n)=[(n-1)(n-3)(n-5)...4*2]/[(n(n-2)(n-4)...5*3*1]*f(1)
=[(n-1)(n-3)(n-5)...4*2]/[(n(n-2)(n-4)...5*3*1]*1
=(n-1)!/n!
当n是偶数:
则f(n)=[(n-1)(n-3)(n-5)...3*1]/[n(n-2)(n-4)...4]*f(2)
=(n-1)(n-3)(n-5)...3*1]/[n(n-2)(n-4)...4*2]*π/2
=(n-1)!/n!*π/2