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设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A...>
设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．
更新时间： 2025-08-27 09:40:52
1人问答
问题描述：

设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．

黄继武回答：
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　　因为A是n阶正定阵，所以其特征值均大于0． 　　设λ为A的一个特征值，ξ为对应与λ的一个特征向量， 　　则：（A+E）ξ=Aξ+ξ=λξ+ξ=（λ+1）ξ， 　　即λ+1为A+E的特征值． 　　注意到λ＞0， 　　故：A+E的特征值均大于1． 　　设A+E的特征值为：λ1，λ2，…，λn， 　　则λi＞1， 　　从而：|A+E|=λ1λ2…λn＞1．
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