已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），OH⊥AB于H点．试求点H的轨迹方程．
更新时间： 2025-08-21 15:29:50
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问题描述：
已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），OH⊥AB于H点．试求点H的轨迹方程．
宋海娜回答：
【答案】分析：（Ⅰ）要求椭圆方程，只需求出a，b的值，由椭圆的离心率为，知，，由椭圆上的点到焦点的最小距离为1，可知，a-c=1，再根据a2=b2+c2，就可求出a，b得到椭圆C的方程．（Ⅱ）设出A，B点的坐标，直线l方程，再令直线l方程与椭圆方程联立，求出x1+x2，x1x2，根据且OA⊥OB（O为坐标原点），OH⊥AB于H点．用x1，x2表示H点坐标，把参数消掉，即可得到点H的轨迹方程．（Ⅰ）由题意知：，a-c=1，a2=b2+c2，解得a=2，b2=3．故椭圆的方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），（1）若l⊥x轴，可设H（x，0），因OA⊥OB，则A（x，±x）．由，得，即．若l⊥y轴，可设H（0，y），同理可得．（2）当直线l的斜率存在且不为0时，设l：y=kx+m，由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．则．．由OA⊥OB，知x1x2+y1y2=0．故 ，即7m2=12（k2+1）（记为①）．由OH⊥AB，可知直线OH的方程为．联立方程组，得 （记为②）．将②代入①，化简得．综合（1）、（2），可知点H的轨迹方程为．点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及消参法求轨迹方程，做题时应认真分析．
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