【高二数学推理与证明习题!1.已知：a＞0,b＞0,求证2ab/a+b≤√ab≤a+b/2≤√[(a^2+b^2)/2]2.设a,b,c∈R,求证√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)≥√2（a+b+c）3.证明：f（x）=2^（x²-4x+3）在（2,+∞）上是增加】-保卡通问答

【高二数学推理与证明习题!1.已知：a＞0,b＞0,求证2ab/a+b≤√ab≤a+b/2≤√[(a^2+b^2)/2]2.设a,b,c∈R,求证√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)≥√2（a+b+c）3.证明：f（x）=2^（x²-4x+3）在（2,+∞）上是增加】

更新时间： 2025-08-28 14:14:35

1人问答

问题描述：

高二数学推理与证明习题!

1.已知：a＞0,b＞0,求证2ab/a+b≤√ab≤a+b/2≤√[(a^2+b^2)/2]

2.设a,b,c∈R,求证√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)≥√2（a+b+c）

3.证明：f（x）=2^（x²-4x+3）在（2,+∞）上是增加的.

PS.一定要完整过程先谢谢啦!

李哲林回答：

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　　分析,(1)和（2）,都用到, 　　∵(a-b)²≥0；　　∴a²+b²-2ab≥0 　　(1)证明：∵a＞0,b＞0；　　∴(a-b)²≥0；　　∴a²+b²-2ab≥0；　　第一个不等号：　　a²+b²+(2ab-2ab)-2ab≥0；　　(a+b)²-2ab-2ab≥0；　　(a+b)²≥4ab；　　4ab×（ab）≤(a+b)²×（ab）；　　4a²b²≤(a+b)²ab 　　4a²b²/(a+b)²≤ab 　　√[4a²b²/(a+b)²]≤√[ab] 　　2ab/(a+b)≤√(ab) 　　第二个不等号：　　a²+b²+(2ab-2ab)-2ab≥0；　　(a+b)²-2ab-2ab≥0；　　4ab≤(a+b)²；　　√4ab≤√(a+b)² 　　√ab≤(a+b）/2; 　　第三个不等号：　　a²+b²-2ab≥0；　　a²+b²+（a²+b²）-（a²+b²）-2ab≥0；　　2（a²+b²）-（a²+b²+2ab）≥0；　　2（a²+b²）-（a+b）²≥0；　　2（a²+b²）≥（a+b）² 　　2（a²+b²）/4≥（a+b）²/4 　　（a²+b²）/2≥（a+b）²/4 　　√[（a²+b²）/2]≥√[（a+b）²/4] 　　√[（a²+b²）/2]≥（a+b）/2; 　　（a+b）/2≤√[（a²+b²）/2]; 　　--------------------------------------------------------- 　　(2)证明：∵a、b、c∈R；　　∴(a-b)²≥0；　　由于（1）的第三个不等式的证明有：　　（a+b）/2≤√[（a²+b²）/2]; 　　√（a²+b²）≥（a+b）/√2；-------(11) 　　同理有：√（b²+c²）≥（b+c）/√2；------(22) 　　√（c²+a²）≥（c+a）/√2；------(33) 　　(11)、（22）和（33）三式相加得：　　√（a²+b²）+√（b²+c²）+√（c²+a²）≥[（a+b）+（b+c）+（c+a）]/√2；　　√（a²+b²）+√（b²+c²）+√（c²+a²）≥2（a+b+c）/√2=√2(a+b+c)；　　---------------------------------------------- 　　∵指数函数a^x(a>0且≠1), 　　当a＞1时,指数函数是递增的函数；　　又∵f（x）=2^（x²-4x+3）　　=2^[(x-2)²-1] 　　当∈（2,+∞）时,(x-2)²-1是递增函数；　　∴底数为2^X指数函数　　f（x）=2^（x²-4x+3）=2^[(x-2)²-1],在（2,+∞）时是递增的函数；　　--------------------------------------------- 　　###.