abcd属于Q,根号b、根号d为无理数,且a+根号b等于c+根号d,求证a=c,b=d我可以看出是等于的.呵呵可以这样写吗？好直接啊
更新时间： 2025-08-31 08:11:13
1人问答
问题描述：
abcd属于Q,根号b、根号d为无理数,且a+根号b等于c+根号d,求证a=c,b=d我可以看出是等于的.
呵呵可以这样写吗？好直接啊
江乃雄回答：
证明：由于a+根号b=c+根号d,
则根号b-根号d=c-a.(1)
假设a不等于c,则
根号b-根号d不等于0,
b不等于d.
则根号b+根号d=(b-d)/(根号b-根号d)
=(b-d)/(c-a).(2)
由(1)(2)得
根号b=(c-a)/2+(b-d)/[2(c-a)],(3)
又因为a,b,c,d属于Q,
则由(3)得,根号b为有理数,与根号b为无理数矛盾.
故假设不成立,即a=c,此时b=d.
=========
注意：如果只有条件：根号b、根号d为无理数,
而没有b,d属于Q,
是没有a=c,b=d的.
例如：
a=2,b=2,c=1,d=3+2根号2.
2+根号2=1+根号(3+2根号2).
2,1为有理数,根号2,根号(3+2根号2)是无理数.
因为d=(a-c+根号b)^2不一定是有理数.
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