已知数列{an}、{bn}满足:a1=1/4,an+bn=1,bn+1=bn/1-an^2.20已知数列{an}、{bn}满足:a1=1/4,an+bn=1,bn+1=bn/1-an^2.2012-04-08|分享（1）求b1b2b3b4各为多少（2）设Cn＝1╱（bn－1）求Cn通项（3）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+……+a
更新时间： 2025-08-28 18:19:50
2人问答
问题描述：
已知数列{an}、{bn}满足:a1=1/4,an+bn=1,bn+1=bn/1-an^2.20
已知数列{an}、{bn}满足:a1=1/4,an+bn=1,bn+1=bn/1-an^2.
2012-04-08|分享
（1）求b1b2b3b4各为多少（2）设Cn＝1╱（bn－1）求Cn通项（3）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+……+ana(n+1),求实数a为和值时4aSn＜bn恒成立
李志方回答：
（1）b1=1-a1=1-(1/4)=3/4；b(n+1)=bn/(1-an²)=bn/[(1-an)(1+an)]=1/(1+an)；
∴b2=1/(1+a1)=1/(5/4)=4/5，a2=1=b2=1/5；
b3=1/(1+a2)=1/(6/5)=5/6，a3=1-(5/6)=1/6；
b4=1/(1+a3)=1/(7/6)=6/7；
（2）由上可推知bn=(n+2)/(n+3)，∴Cn=1/(bn-1)=1/[-1/(n+3)]=3-n；
（3）an=1-bn=1/(n+3)；
∴Sn=a1a2+a2a3+……+an*a(n+1)=1/(4*5)+1/(5*6)+……+1/[(n+3)(n+4)]=(1/4)-[1/(n+3)]；
若4a*Sn
陈舜回答：
(1)a1+b1=1，所以b1=1-a1=1-1/4=3/4
b2=b1/(1-a1^2)=(3/4)/(1-1/16)=4/5
a2+b2=1，所以a2=1-b2=1-4/5=1/5
b3=b2/(1-a2^2)=(4/5)/(1-1/25)=5/6
a3+b3=1，所以a3=1-b3=1-5/6=1/6
b4=b3/(1-a3^2)=(5/6)/(1-1/36)=6/7
所以b1=3/4，b2=4/5，b3=5/6，b4=6/7
(2)an+bn=1，所以an=1-bn，
那么b(n+1)=bn/(1-an^2)=bn/[1-(1-bn)^2]
=bn/(2bn-bn^2)
=1/(2-bn)
所以b(n+1)-1=1/(2-bn)-1=(bn-1)/(2-bn)
那么1/[b(n+1)-1]=(2-bn)/(bn-1)=-1+1/(bn-1)
所以1/[b(n+1)-1]-1/(bn-1)=-1，即C(n+1)-Cn=-1，为常数
而C1=1/(b1-1)=1/(3/4-1)=-4
所以数列Cn是以-4为首项、-1为公差的等差数列
Cn=-4-(n-1)=-(n+3)(n∈N+)
(3)bn=1+1/Cn=(n+2)/(n+3)，an=1-bn=1/(n+3)
Sn=1/(4×5)+1/(5×6)+1/(6×7)+……+1/[(n+3)(n+4)]
=1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+……+1/(n+3)-1/(n+4)
=1/4-1/(n+4)
4aSn
其它推荐
其它推荐
最新更新
精品分类
优秀其它推荐
热门其它