区间是0-1:∫X/e^X+e^(1-X)Dx区间是0-1:∫X/[e^X+e^(1-X)]Dx原题是这样子的我漏了一个括号~
更新时间： 2025-08-31 05:12:55
3人问答
问题描述：
区间是0-1:∫X/e^X+e^(1-X)Dx
区间是0-1:∫X/[e^X+e^(1-X)]Dx
原题是这样子的我漏了一个括号~
陈文胜回答：
分开来积分∫X/e^XDX+∫e^(1-X)DX,第一个先看(x/e^x)'=1/e^x-x/e^x,两边积分就有∫x/e^xdx=-(x+1)/e^x.（定积分啥的就不考虑C了）另一个比较好积分,积出来就是-e^(1-x),那合起来就是F(x)=-(x+1)/e^x-e^(1-x),然后牛...
陈文胜回答：
原来是这样啊，题目难了好多，但并不是不能解决。仔细观察，易得f(x)+f(1-x)=1/[e^x+e^(1-x)]而如果两边积分∫f(x)dx+∫f(1-x)dx=∫1/[e^x+e^(1-x)]dx右边容易积分，换元t=e^x，得∫1/(t^2+e)dt，再提出1/e，得(1/e)*∫1/[(t/√e)^2+1]dt，得到∫1/(t^2+e)dt=(1/√e)*arctan(t/√e)。（当然也可以查积分表）至于左边。令∫f(x)dx=F(x)，观察F‘(1-x)=-f(1-x)两边积分得∫f(1-x)=-F(1-x)这里我们约定一下f(x)|[0,1]，代表着f(1)-f(0)，于书上表示法有点不同（电脑打不出）那根据上面得到的∫f(x)dx+∫f(1-x)dx=∫1/[e^x+e^(1-x)]dx带入我们上面求过的得F(x)|[0,1]-F(1-x)|[0,1]=(1/√e)*arctan(t/√e)|[1,e]（这边变量是t，区间就是[e^0,e^1])F(1)-F(0)-F(0)+F(1)=(1/√e)*arctan(t/√e)|[1,e]F(1)-F(0)={(1/√e)*arctan(t/√e)|[1,e]}/2区间[0,1]上的定积分∫x/[e^x+e^(1-x)]dx={(1/√e)*arctan(t/√e)|[1,e]}/2≈0.1457
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