【a>0,b>0,c>0,求证a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)≥(a+b+c)/2】
更新时间： 2025-08-31 03:54:23
6人问答
问题描述：
a>0,b>0,c>0,求证a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)≥(a+b+c)/2
刘文洁回答：
a>0,b>0,c>0
由柯西不等式得[(a/根号（b+c))^2+(b/根号（a+c))^2+(c/根号(a+b))^2][(根号（b+c))^2+(根号(a+c))^2+(根号（a+b))^2]≥[a/根号（b+c)*根号(b+c)+b/根号（a+c)*根号(a+c)+c/根号(a+b)*根号(a+b)]^2
即[a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/a+b][(b+c)+(a+c)+(a+b)]≥(a+b+c)^2
因为(a+b+c)>0
所以a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2
刘文洁回答：
由均值不等式：a^2/(b+c)+(b+c)/4>=2*根号(a^2/(b+c)*(b+c)/4)=a,同理，b^2/(c+a)+(c+a)/4>=b;c^2/(a+b)+(a+b)/4>=c.以上三式相加即得a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)+1/2(a+b+c)>=a+b+c.所以a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)≥1/2(a+b+c)
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