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【数学函数填空题!已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点(-3/4,0)对称,且满足f(x)=-f(x+3/2),f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)的值为_______.】
更新时间: 2025-08-23 00:36:51
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问题描述:

数学函数填空题!

已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点(-3/4,0)对称,且满足f(x)=-f(x+3/2),f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)的值为_______.

梁毅军回答:
  因为f(x)=-f(x+3/2),所以f(x+3/2)=-f(x+3/2+3/2)=-f(x+3)   所以f(x)=-f(x+3/2)   =f(x+3)即f(x)是周期为3的函数   f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)   =666(f(1)+f(2)+f(3))+f(1)+f(2)   借着计算,关于点(-3/4,0)对称,所以f(x)=-f(-3/2-x)   因为f(x)=-f(x+3/2),所以)-f(-3/2-x)=-f(x+3/2)即f(-3/2-x)=f(x+3/2)   所以f(x)是偶函数   f(1)=f(-1)=1   f(-1)=-f(-1+3/2)=-f(1/2)所以f(1/2)=-1   因为f(x)=-f(-3/2-x)所以f(-2)=-f(-3/2+2)=-f(1/2)=1   所以f(2)=1   周期函数所以f(3)=f(0)=-2   所以原式=666*(1+1-2)+1+1   =2
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