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用数学归纳法证明In(n+1)>1/3+1/5+1/7+.+1/(2n+1)
更新时间: 2025-08-25 02:29:55
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问题描述:

用数学归纳法证明In(n+1)>1/3+1/5+1/7+.+1/(2n+1)

江铭虎回答:
  证明:   记f(x)=ln(1+x)-x/(2+x),x>0   f'(x)=[(x+1)²+1]/[(x+1)(2+x)²]>0,f(x)↑   又f(x)可在x=0处连续则   f(x)>f(0)=0   即ln(1+x)>x/(2+x)   取1/n(>0)替换x有   ln[(n+1)/n]>1/(2n+1)   将此不等式中的n依次从1取到n累加有   ln(2/1)+ln(3/2)+...+ln[(n+1)/n]>1/3+1/5+...+1/(2n+1)   即ln(n+1)>1/3+1/5+...+1/(2n+1)   得证.
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