已知x+y+z=xyz求X^2+Y^2+Z^2+2/(XYZ)的最小值谢谢了,原理上应该是柯西不等式题X，Y，Z均是正数已知x+y+z=xyz求X^2+Y^2+Z^2+2/(XYZ)的最小值谢谢了原理上应该是柯西不等式题
更新时间： 2025-08-31 03:53:49
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问题描述：
已知x+y+z=xyz求X^2+Y^2+Z^2+2/(XYZ)的最小值谢谢了,原理上应该是柯西不等式题
X，Y，Z均是正数
已知x+y+z=xyz求X^2+Y^2+Z^2+2/(XYZ)的最小值谢谢了
原理上应该是柯西不等式题
成曙回答：
化成((x^2+y^2+z^2)/xyz)^2≥(xx+yy+zz)^2/((x+y+z)xyz)
xx+yy+zz≥1/3*(x+y+z)^2
x+y+z≥3(xyz)^(1/3)
xx+yy+zz≥3(xyz)^(2/3)
三式相乘：
(xx+yy+zz)^2≥3(x+y+z)xyz
=>((x^2+y^2+z^2)/xyz)^2≥3
=>(x^2+y^2+z^2)/xyz≥3^(1/2）
故X^2+Y^2+Z^2+2/(XYZ)的最小值是√3.
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