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【高等数学,多元函数微分学的几何应用在椭球面x^2+y^2+z^2/4=1的第一卦限部分上求一点,使椭球面在该点处的切平面在三个坐标轴上的截距之平方和最小.请详细一点.能否把求截距那段说清楚点,】
更新时间: 2025-08-18 13:36:29
1人问答
问题描述:

高等数学,多元函数微分学的几何应用

在椭球面x^2+y^2+z^2/4=1的第一卦限部分上求一点,使椭球面在该点处的切平面在三个坐标轴上的截距之平方和最小.

请详细一点.

能否把求截距那段说清楚点,谢谢

刘一钫回答:
  椭球x^2+y^2+z^2/4=1上任一点(x0,y0,z0)的切平面为   2*x0*(x-x0)+2*y0*(y-y0)+z0/2*(z-z0)=0在x轴,y轴,z轴上的截距为   (1/x0,1/y0,4/z0)   令S=1/x0^2+1/y0^2+16/z0^2   下面用拉格朗日乘数法求条件x0^2+y0^2+z0^2/4-1=0极值   令L=1/x0^2+1/y0^2+16/z0^2+a*(x0^2+y0^2+z0^2/4-1=0)   Lx=-2/(x^3)+2*a*x=0(1)   Ly=-2/(y^3)+2*a*y=0(2)   Lz=-32/(z^3)+a*z/2=0(3)   x0^2+y0^2+z0^2/4-1=0(4)   结合1~4及x>0,y>0,z>0得(x0,y0,z0)=(1/2,1/2,2^(1/2)/2)   则最小值点为(1/2,1/2,2^(1/2)/2),最小值为S(x0,y0,z0)=40   希望解决你的问题!
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