【如图，已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且AB=2，抛物线的对称轴为直线x=2；（1）求抛物线的函数表达式；（2）如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△APC周长的最小，求】
更新时间： 2025-08-22 23:14:12
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问题描述：
如图，已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且AB=2，抛物线的对称轴为直线x=2；
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△APC周长的最小，求此时P点坐标
及△APC周长；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（直接写出结果）
黄文州回答：
（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，
∴1，3是方程x2+bx+c=0的两个根，
由根与系数的关系，得1+3=-b，1×3=c，
∴b=-4，c=3，
∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3．
（2）连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接PA，如图1，
由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3，点A，B的坐标分别为（1，0），（3，0），
∴点C的坐标为（0，3），
∴BC=
3
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