已知一次函数y1=kx+b的图像与反比例函数y2=k/x的图像相交于A.B两点,坐标分别为(-2,4）、（4,-2）.（1）求两个函数的解析式；（2)O为坐标原点,是否存在一点P,使以点ABOP为顶点的四边形为菱形?
更新时间： 2025-08-31 06:05:40
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问题描述：
已知一次函数y1=kx+b的图像与反比例函数y2=k/x的图像相交于A.B两点,坐标分别为(-2,4）、（4,-2）.（1）
求两个函数的解析式；（2)O为坐标原点,是否存在一点P,使以点ABOP为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出P点坐标
杭后俊回答：
（1）把（-2,4）和（4,2）分别代入,两个函数解析式,
对一次函数有4=-2k+b,-2=4k+b,联立求解得k=-1,b=2；
对反比例函数有4=k/-2,-2=k/4,即k=-8；
故一次函数和反比例函数的解析式分别为y1=-x+2,y2=-8/x
（2）若点P存在,则向量AB（-6,6）和向量OP（x,y）垂直,故
-6x+6y=0,即x=y,
又因为O到直线AB的距离L=2/√2,线段OP长为2L,即x√2=2×2/√2,求解得x=y=2
所以,点P坐标为（2,2）
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