定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）<2恒成立，则使x2f（x）-f（1）<x2-1成立的实数x的取值范围为（）A.{x|x≠±1}B.（-∞，-1）∪（
更新时间： 2025-08-19 14:17:58
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问题描述：
定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）<2恒成立，则使x2f（x）-f（1）<x2-1成立的实数x的取值范围为（）
A.{x|x≠±1}
B.（-∞，-1）∪（1，+∞）
C.（-1，1）
D.（-1，0）∪（0，1）
师东娜回答：
当x>0时，由2f（x）+xf′（x）-2<0可知：两边同乘以x得：
2xf（x）-x2f′（x）-2x<0
设：g（x）=x2f（x）-x2
则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）-2x<0，恒成立：
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，
由x2f（x）-f（1）<x2-1
∴x2f（x）-x2<f（1）-1
即g（x）<g（1）
即x>1；
当x<0时，函数是偶函数，同理得：x<-1
综上可知：实数x的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞），
故选：B
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