【分析】(1)不等式解集区间的端点就是相应方程的根,所以方程kx2-2x+6k=0的两根分别为2和3,再利用一元二次方程根与系数的关系,可得实数k的值;
(2)原命题等价于函数y=kx2-2x+6k的最大值小于0,从而得出,解之可得实数k的取值范围是(0,];
(3)原命题题等价于不等式组:Δ≤0或,先解Δ≤0,结合k>0得k≥,再对照的解集,可得符合条件的k的取值范围.
(1)由已知得,2和3是相应方程kx2-2x+6k=0的两根且k>0,
∴,解得k=;
(2)令f(x)=kx2-2x+6k,
原问题等价于
解得k≤.
又k>0
∴实数k的取值范围是(0,];
(3)对应方程的Δ=4-24k2,
令f(x)=kx2-2x+6k,
则原问题等价于Δ≤0或
由Δ≤0解得k≤-或k≥,
又k>0,∴k≥
由解得≤k≤
综上,符合条件的k的取值范围是[,+∞).
【点评】本题考查了一元二次方程根与一元二次不等式的关系,属于中档题.解题时应该注意求解过程中的分类讨论思想与数形结思想的运用.