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已知关于x的不等式,(k>0)(1)若不等式的解集为,求实数k的值;(2)若不等式对一切2<x<3都成立,求实数k的取值范围;(3)若不等式的解集为集合的子集,求实数k的取值范围.____
更新时间: 2025-08-23 07:54:41
1人问答
问题描述:

已知关于x的不等式,(k>0)

(1)若不等式的解集为,求实数k的值;

(2)若不等式对一切2<x<3都成立,求实数k的取值范围;

(3)若不等式的解集为集合的子集,求实数k的取值范围.____

方毅回答:
  【分析】(1)不等式解集区间的端点就是相应方程的根,所以方程kx2-2x+6k=0的两根分别为2和3,再利用一元二次方程根与系数的关系,可得实数k的值;   (2)原命题等价于函数y=kx2-2x+6k的最大值小于0,从而得出,解之可得实数k的取值范围是(0,];   (3)原命题题等价于不等式组:Δ≤0或,先解Δ≤0,结合k>0得k≥,再对照的解集,可得符合条件的k的取值范围.   (1)由已知得,2和3是相应方程kx2-2x+6k=0的两根且k>0,   ∴,解得k=;   (2)令f(x)=kx2-2x+6k,   原问题等价于   解得k≤.   又k>0   ∴实数k的取值范围是(0,];   (3)对应方程的Δ=4-24k2,   令f(x)=kx2-2x+6k,   则原问题等价于Δ≤0或   由Δ≤0解得k≤-或k≥,   又k>0,∴k≥   由解得≤k≤   综上,符合条件的k的取值范围是[,+∞).   【点评】本题考查了一元二次方程根与一元二次不等式的关系,属于中档题.解题时应该注意求解过程中的分类讨论思想与数形结思想的运用.
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