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【高中数学题定点A(1,0),动点B在直线l:x=-1上运动,过B作直线l的垂线与线段AB的垂直平分线交于点P。在轨迹C上是否存在异于原点O的不同两点M、N,满足OM⊥ON,且向量MN=(a,a),若存在,求出】
更新时间: 2025-08-24 08:50:02
6人问答
问题描述:

高中数学题

定点A(1,0),动点B在直线l:x=-1上运动,过B作直线l的垂线与线段AB的垂直平分线交于点P。

在轨迹C上是否存在异于原点O的不同两点M、N,满足OM⊥ON,且向量MN=(a,a),若存在,求出实数a的值;若不存在请说明理由。

具体的每一步过程,求a值时不要跳跃式

堵丁柱回答:
  定点A(1,0),动点B在直线l:x=-1上运动,过B作直线l的垂线与线段AB的垂直平分线交于点P。   则P到l与点A的距离相等,故P的轨迹是抛物线y^2=4x   因为向量MN=(a,a)   则M、N在直线y=x+c上   代入抛物线得x^2+(2c-4)x+c^2=0,   设M(x1,y1)N(x2,y2)   则x1+x2=4-2c,x1x2=c^2   y1y2=(x1+c)(x2+c)=x1x2+c(x1+x2)+c^2=4c   因为OM⊥ON   所以y1y2=-(x1x2)(斜率互为负倒数)   4c=-c^2   故c=0(舍去)或c=-4   则MN为:y=x-4   代入抛物线得(x-4)^2=4x   x=6+-2根号5   当x=6+2根号5时,y=2+2根号5   当x=6-2根号5时,y=2-2根号5   所以M(6+2根号5,2+2根号5)N(6-2根号5,y=2-2根号5)   或N(6+2根号5,2+2根号5)M(6-2根号5,y=2-2根号5)   所以a=(6+2根号5)-(6-2根号5)=4根号5   或者a=(6-2根号5)-(6+2根号5)=-4根号5
郭力回答:
  为什么M.N在y=x+c上呢
堵丁柱回答:
  因为a/a=1
郭力回答:
  那为什么直线y=x+b的常数b等于c啊
堵丁柱回答:
  你用其他字母也可以。
郭力回答:
  赞👍
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