已知正数数列{an}和{bn}满足:对任意n(n属于N*),an,bn,a成等差数列,且a(n+1)=根号bn*b(n+1).设a1=1,a2=2,求{an}和{bn}的通项公式
更新时间： 2025-08-28 17:34:57
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问题描述：
已知正数数列{an}和{bn}满足:对任意n(n属于N*),an,bn,a成等差数列,且a(n+1)=根号bn*b(n+1).
设a1=1,a2=2,求{an}和{bn}的通项公式
孟纯煜回答：
an,bn,a(n+1)成等差数列得,an+a(n+1)=2bn-----①
由a(n+1)=√[bn*b(n+1)]-----②
递推得an=√[b(n-1)*bn]-----③
②③代入①得,√[bn*b(n+1)]+√[b(n-1)*bn]=2bn
上式两边同除以√bn得
√b(n+1)+√b(n-1)=2√bn,
即√b(n+1)-√bn=√bn-√b(n-1)
可见数列{√bn}是等差数列.
将a1=1,a2=2代入①求得,b1=3/2,再代入②得,b2=8/3
所以数列{√bn}的首项=√b1=√(3/2),公差d=√b2-√b1=√(8/3)-√(3/2)=√6/6.
所以√bn=(√b1)+(n-1)d=√(3/2)+(n-1)(√6/6)=(n+2)/√6
bn=(n+2)²/6,进而递推得b(n-1)=(n+1)²/6,代入③得
an=(n+1)(n+2)/6
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