证明在光滑曲面F（x,y,z）=0上距原点距离最近的点的法线必过原点.
更新时间： 2025-08-18 08:47:01
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问题描述：
证明在光滑曲面F（x,y,z）=0上距原点距离最近的点的法线必过原点.
刘培桐回答：
首先如果曲面经过原点的话,那么曲面上距原点最近的点当然就是原点了,所以原点处曲面的法线当然经过原点.下面只证曲面不过原点的情况,设点(x,y,z)≠(0,0,0),则使该点到原点距离最小就是说使得x^2+y^2+z^2最小,由于所求点(x,y,z)要求在曲面上,所以问题转化为在约束条件F(x,y,z)=0下求x^2+y^2+z^2最小值的问题.根据拉格朗日乘数法,构造函数f(x,y,z,λ)=x^2+y^2+z^2-λF(x,y,z),对x求偏导并令其等于0,有2x-λF'x=0,同理可得x=λF'x/2,y=λF'y/2,z=λF'z/2（这里没必要计算出λ的具体数值）.写出曲面过点(λF'x/2,λF'y/2,λF'z/2)的法线方程：(x-λF'x/2)/F'x=(y-λF'y/2)/F'y=(z-λF'z/2)/F'z,将x=y=z=0代入上式,可以验证等式成立,因此法线经过原点.
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