【已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若数列{an}满足a1=f（0），f（an+1）=1f(−2−an)（n∈N*），则a2009的值为______．】
更新时间： 2025-08-26 10:47:25
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问题描述：
已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若数列{an}满足a1=f（0），f（an+1）=
贾小珠回答：
令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），
由题意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a1=f（0）=1．
当x＞0时，-x＜0，f（0）=f（-x）•f（x）=1，进而得0＜f（x）＜1．
设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，
0＜f（x2-x1）＜1，f（x2）-f（x1）
=f（x1+（x2-x1））-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]＜0．
即f（x2）＜f（x1），所以y=f（x）是R上的减函数．
由f（an+1）=1f(−2−a
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