）过双曲线X^2/A^2-Y^2/B^2=1(A>B>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在OF(O为原点）的垂直平分线上则双曲线的离心率是多少
更新时间： 2025-08-25 18:01:30
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问题描述：
）过双曲线X^2/A^2-Y^2/B^2=1(A>B>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在OF(O为原点）
的垂直平分线上则双曲线的离心率是多少
孔凡斌回答：
双曲线X^2/A^2-Y^2/B^2=1(A>B>0)
那么渐近线方程为y=±x*B/A
根据条件：垂足恰在OF(O为原点）的垂直平分线上,
即F的横坐标Fx=c/2,其中c是焦点横坐标
此时的纵坐标是Fy=±x*B/A=±c/2*B/A
OF=√(Fx^2+Fy^2)=c/2√(1+B^2/A^2)=c/2*e,其中e是双曲线的离心率
即e=2*OF/c
根据直角三角形相似的性质：
Fx:OF=OF:c
即OF^2=Fx*c=c^2/2
OF/c=1/√2
最终双曲线的离心率
e=2*OF/c=2*1/√2=√2
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