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【数学三角函数已知tanα和tanβ是方程x^2+px+q=0的两根,求sin^2(α+β)+psin(α+β)cos(α+β)+qcos^2(α+β)的值】
更新时间: 2025-08-28 10:04:54
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问题描述:

数学三角函数

已知tanα和tanβ是方程x^2+px+q=0的两根,

求sin^2(α+β)+psin(α+β)cos(α+β)+qcos^2(α+β)的值

马春红回答:
  己知tanα、tanβ是X平方+PX+Q=0的两个根,求〔sin(α+β)〕平方+Psin(α+β)cos(α+β)+Q〔cos(α+β)〕平方的值?   ===   由题意可得:   (1)tanα+tanβ=-P   (2)tanα×tanβ=Q,   由(1)得到:   sinα/cosα+sinβ/cosβ=sin(α+β)/(cosαcosβ)=-P.   所以sin(α+β)=-p×cosαcosβ(3)   由(2)得到:   即sinαsinβ/(cosαcosβ)=Q,1-Q=(cosαcosβsinαsinβ)/(cosαcosβ)=cos(α+β)/(cosαcosβ)   所以cos(α+β)=(1-Q)×cosαcosβ(4)   由(3)(4)得到:   1=[P*P+(1-Q)*(1-Q)](cosαcosβ)(cosαcosβ)(5)   将(3)(4)(5)带入,得到:   原式=(-P)cosαcosβ(-P)(cosαcosβ)   +P×(-p×cosαcosβ)(1-Q)×cosαcosβ   +Q(1-Q)cosαcosβ(1-Q)cosαcosβ   =P×P×(cosαcosβ)(cosαcosβ-cosαcosβ+Qcosαcosβ)   +Q(1-Q)cosαcosβ(1-Q)cosαcosβ   =Q[P*P+(1-Q)*(1-Q)](cosαcosβ)(cosαcosβ)]   =Q
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