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【已知抛物线x2=-4y过点M(0,-4)的直线与抛物线相交于AB两点(1)求证以AB为直径的圆过原点O(2)求三角形ABO面积的最小值】
更新时间: 2025-08-22 04:42:02
1人问答
问题描述:

已知抛物线x2=-4y过点M(0,-4)的直线与抛物线相交于AB两点

(1)求证以AB为直径的圆过原点O(2)求三角形ABO面积的最小值

刘治国回答:
  刚答过一个.   (1)设直线方程为y=kx-4,代入x²=-4y,得x²+4kx-16=0   设A(x1,y1),B(x2,y2),则   x1+x2=-4k,x1x2=-16   y1+y2=k(x1+x2)-8=-4k²-8   y1y2=(kx1-4)(kx2-4)=k²x1x2-4(x1+x2)+16=-16k²+16k²+16=16   所以向量OA•OB=x1x2+y1y2=0,OA⊥OB,所以以AB为直径的圆过原点O   (2)2S=|OA|•|OB|,   4S²=|OA|²|OB|²=(x1²+y1²)(x2²+y2²)   =(-4y1+y1²)(-4y2+y2²)   =y1y2(y1-4)(y2-4)=16[y1y2-4(y1+y2)+16]   =16(32+16k²+32)=256(k²+4)   S²=64(k²+4),当k=0时,S的最小值为16
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