【在数列{an}中,有a1=3,Sn=a1+a2+...+an,2an=Sn*S(n+1)(n大于等于2）（1）求证{1/Sn}为等差数列,并求公差；（2）求数列{an}的通项公式注题目中的n和n+1均为下标】
更新时间： 2025-08-29 23:14:42
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问题描述：
在数列{an}中,有a1=3,Sn=a1+a2+...+an,2an=Sn*S(n+1)(n大于等于2）
（1）求证{1/Sn}为等差数列,并求公差；
（2）求数列{an}的通项公式
注题目中的n和n+1均为下标
范丰海回答：
(1)由2an=Sn*S(n-1),an=Sn-S(n-1)
则:2[Sn-S(n-1)]=Sn*S(n-1)
2Sn-2S(n-1)=Sn*S(n-1)
两边同时除以Sn*S(n-1)
2/S(n-1)-2/Sn=1
1/Sn-1/S(n-1)=-1/2
则{1/Sn}为等差数列,公差为-1/2
(2)由于{1/Sn}为等差数列
则:1/Sn=1/S1+(n-1)*(-1/2)
=1/a1+(1-n)/2
=(5-2n)/6
则:Sn=6/(5-3n)
则当n>=2时,
an=Sn-S(n-1)
=6/(5-3n)-6/(8-3n)
=18/[(3n-8)(3n-5)]
又a1=18/[(3-8)(3-5)]=9/5
则:an=18/[(3n-8)(3n-5)](n>=2)
=3(n=1)
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