【练习：请帮忙分析以下解题中我的疑惑,方程lg2X/lg(x+a)=2,问a为何值时,方程有一解?整理：lg2x=2lg(x+a)2x=(x+a)^2得：x^2+2(a-1)x+a^2=0且2x＞0,x+a＞0,对于以上一元二次方程,△=4[(a-1)^2]-4(a^2)=-8a+4,分三种情】
更新时间： 2025-08-31 06:22:21
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问题描述：
练习：请帮忙分析以下解题中我的疑惑,方程lg2X/lg(x+a)=2,问a为何值时,方程有一解?
整理：
lg2x=2lg(x+a)
2x=(x+a)^2
得：
x^2+2(a-1)x+a^2=0
且2x＞0,x+a＞0,
对于以上一元二次方程,△=4[(a-1)^2]-4(a^2)=-8a+4,
分三种情况：
①当△＞0时,-8a+4＞0,a＜1/2
此时,方程有两解,
x={2-2a±[根号(4-8a)}/2=1-a±[根号(1-2a)]
此时x=(1-a)+[根号(1-2a)]＞0显然成立（正数加正数）；
对于x=(1-a)-[根号(1-2a)],由于(1-a)^2-(1-2a)=1-2a+a^2-1+2a=a^2＞0,所以,x=1-a-[根号(1-2a)]＞0也成立.
但是,由于要求x+a＞0,
所以,当a＜1/2且x+a＞0时,原方程有两解.
②当△=0,a=1/2
此时,方程为x^2-x+1/4=0,解得唯一解x=1/2
但是代入原方程可知此时分母为0,无意义
所以x=1/2不合题意,舍去,所以,a=1/2时原方程无解.
③当△＜0,a＞1/2时,原方程无解.
综上,
（1）当a＜1/2时,方程有两解；
（2）不存在a使方程有一解；
（3）当a≥1/2时,方程无解
我的疑惑是：1,“对于x=(1-a)-[根号(1-2a)],由于(1-a)^2-(1-2a)=1-2a+a^2-1+2a=a^2＞0”由这个是怎么得到1-a-√（1-2a)>0的?
2,“当a＜1/2且x+a＞0时,原方程有两解.”为什么呢?由2x>0可得x>0；x+a>0得x>-a,为什么不求-X的最大值再结合a0和2x>0,即x>0和x>-a,是不是还应该求-X的最大值,然后来求a的范围?即便求不出,是不是也应满足a>-x呢?为啥只是a>2呢
陈养厚回答：
第一个问题：(1-a)^2-(1-2a)=1-2a+a^2-1+2a=a^2＞0”由这个是怎么得到1-a-√（1-2a)>0的?
要证明1-a-√（1-2a)>0即需要证明：1-a>√（1-2a),对左右两边平方：(1-a)^2>（1-2a),即需证明：(1-a)^2-(1-2a)>0,即：(1-a)^2-(1-2a)=1-2a+a^2-1+2a=a^2＞0,故1-a-√（1-2a)>0；
第二个问题：开始和你的想法一样,问什么不继续下去求a的范围呢,其实再细想想,是没必要了
有两个原因：1.,你是求a的取值范围,a是一个定值,X是随a变化的,x+a>0和2x>0是对X的限定条件,而不是对a的限定条件
2.请问你如何去求X的最大值呢?他不是一个函数,是一个方程,a的值
本来就不定,就算你想用含a的代数式表示X的函数,但是,怎样就算最
大值呢,是无法求最大值的
第三个问题：其实和第二个一样,你是求a的取值范围,a是一个定值,X是随a变化的,x+a>0和2x>0是对X的限定条件,而不是对a的限定条件
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