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已知数列{an}前n项和为Sn,且满足Sn+an=2n+1,(1)写出a1,a2,a3并推测出an的表达式,(2)用数学归纳法证明结论我知道结论,现只求数学归纳法证明,n=k+1不会证
更新时间: 2025-08-19 14:16:03
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问题描述:

已知数列{an}前n项和为Sn,且满足Sn+an=2n+1,(1)写出a1,a2,a3并推测出an的表达式,(2)用数学归纳法证明结论

我知道结论,现只求数学归纳法证明,n=k+1不会证

尚艳艳回答:
  (1)a1=3/2,a2=7/4,a3=15/8,   猜测an=2-1/2^n   (2)①由(1)已得当n=1时,命题成立;   ②假设n=k时,命题成立,即ak=2-1/2^k,   当n=k+1时,a1+a2+……+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,   且a1+a2+……+ak=2k+1-ak   ∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,   ∴2ak+1=2+2-1/2^k,ak+1=2-1/2^k+1,   即当n=k+1时,命题成立.   根据①②得n∈N+,an=2-1/2^n都成立
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