如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E、F分别在线段AB、AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P-EF-B的大小为60°．（1）求证：EF⊥PB；（2）当点E为线段AB的中点时，求PC与平面BCFE
更新时间： 2025-08-29 05:58:43
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问题描述：
如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E、F分别在线段AB、AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P-EF-B的大小为60°．
（1）求证：EF⊥PB；
（2）当点E为线段AB的中点时，求PC与平面BCFE所成角的大小．
李广安回答：
（1）证明：在Rt△ABC中，EF∥BC，
∴EF⊥AB．
∴EF⊥EB，EF⊥EP．
又∵EB∩EP=E，
∴EF⊥平面PEB．
又∵PB⊂平面PEB，
∴EF⊥PB．
（2）过点P作PD⊥EB交EB于D，连接DC．
∵EF⊥平面PEB，PD⊂平面PEB，
∴EF⊥PD．
∵EF∩EB=E，
∴PD⊥平面BCFE．
∴CD是PC在平面BCFE内的射影．
∴∠PCD是PC与平面BCFE所成的角．
∵点E为线段AB的中点，AB=BC=4，
∴PE=EB=2．
∵EF⊥EB，EF⊥EP，
∴∠PEB是二面角P-EF-B的平面角．
∵二面角P-EF-B的大小为60°，
∴∠PEB=60°．
在Rt△PDE中，PD=PE•sin60°=3
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