已知斜三棱柱ABC-A′B′C′每条侧棱长为3，底面为边长2的正三角形，侧面BCC′B′垂直于底面，且CC′=BC′．（1）求证AC′⊥BC；（2）求四棱锥C′-ABB′A′的体积．
更新时间： 2025-08-22 23:14:20
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问题描述：
已知斜三棱柱ABC-A′B′C′每条侧棱长为3，底面为边长2的正三角形，侧面BCC′B′垂直于底面，且CC′=BC′．
（1）求证AC′⊥BC；
（2）求四棱锥C′-ABB′A′的体积．
郝鹏威回答：
（1）取BC中点D，连接AD、C'D，
∵正三角形ABC中，AD是中线，∴AD⊥BC，
又∵△BCC'中，CC′=BC′，CD=DB
∴C'D⊥BC，
∵AD、C'D是平面ADC'内的相交直线，
∴BC⊥面ADC'
∵AC'⊂面ADC'，∴BC⊥AC'…（7分）
（2）∵平面BCC′B′⊥平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC=BC，C'D⊥BC
∴C'D⊥平面ABC，
Rt△C'D中，CD=1，CC'=3，∴C'D=
C′C
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