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在矩形ABCD中,BD是对角线,MN是BD的垂直平分线,交AD于点M,与BD相交于点O,与BC相交于点N,连接BN,DM.求证:1.四边形BNDM是菱形.2.若AB=4,AD=8,求DM的长.
更新时间: 2025-08-24 21:21:24
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问题描述:

在矩形ABCD中,BD是对角线,MN是BD的垂直平分线,交AD于点M,与BD相交于点O,与BC相交于点N,连接BN,DM.求证:

1.四边形BNDM是菱形.

2.若AB=4,AD=8,求DM的长.

陆仲绩回答:
  1、∵ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AD∥BC,∴∠MDO=∠NBO,   在ΔOMD与ΔONB中,∠MOD=∠NOB,∴ΔOMD≌ΔONB,∴OM=ON,   ∴四边形BNDM是平行四边形(两条对角线互相平分的四边形是平行四边形)   ∵MN垂直平分BD,∴BM=DM,   ∴平行四边形BNDM是菱形.   2、设MD=BM=X,则AM=8-X,   在RTΔABM中,BM^2=AB^2+AM^2   ∴(8-X)^2=16+X^2,X=3   ∴DM=3
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