有关于高三导数的一道题目已知e为自然对数的底数,若对任意的x∈[1/e,1],总存在唯一的y∈[-1,1],使得lnx-x+1+a=y^(2)e^y成立,则实数a的取值范围是（）A.[1/e,e]B(2/e,e]C(2/e,+∞)
更新时间： 2025-08-28 17:11:13
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问题描述：
有关于高三导数的一道题目
已知e为自然对数的底数,若对任意的x∈[1/e,1],总存在唯一的y∈[-1,1],使得lnx-x+1+a=y^(2)e^y成立,则实数a的取值范围是（）
A.[1/e,e]B(2/e,e]C(2/e,+∞)D(2/e,e+1/e)
柴震川回答：
答：
选B
令f(x)=lnx-x+1+a,f'(x)=1/x-1,在[1/e,1]内f'(x)≥0,所以单调增.
f(1/e)=a-1/e,f(1)=a；
令h(y)=y^(2)e^y,同理求导得在[-1,1]内有最小值h(0)=0
h(-1)=1/e,h(1)=e；
要使得任意x∈[1/e,1]存在y∈[-1,1]值与之相等,则f(x)的最大值不能大于h(y)的最大值
即f(1)≤e,所以a≤e；
因为h(y)在[-1,0]递减,在(0,1]递增,所以h(y)值域在(0,1/e]时,有两个y值与之对应.
若只有唯一的y,则f(x)的最小值要比1/e大.所以f(1/e)>1/e,所以a>2/e
所以a取值范围为(2/e,e]
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