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【请问这个问题如何用数学归纳法来证明是否存在常数a,b,使1^2+3^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(an^2+b)对任意的正整数n都成立?证明结论.】
更新时间: 2025-08-22 18:31:49
1人问答
问题描述:

请问这个问题如何用数学归纳法来证明

是否存在常数a,b,使1^2+3^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(an^2+b)对任意的正整数n都成立?证明结论.

吕新荣回答:
  n=1时有1=1/3×(a+b)   n=2时有1+9=1/3×2(4a+b)   如果能成立,联立得a=4,b=-1.   验证易知n=3时,左边=1+9+25=35=1/3×3×(4×9-1)=右边成立.   假设当n=k(k≥2)时有1^2+3^2+……+(2k-1)^2=(1/3)k(4k^2-1)成立,则   当n=k+1时,有   左边=1^2+3^2+……+(2k-1)^2+(2k+1)^2=(1/3)k(4k^2-1)+(2k+1)^2=1/3*(2k+1)(2k^2-k)+(2k+1)^2   =1/3*(2k+1)(2k^2-k+6k+3)=1/3*(2k+1)(k+1)(2k+3)=1/3*(k+1)[4(k+1)^2-1]=右边.   故对任意的正整数n都有1^2+3^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(4n^2-1)成立.
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