高数～关于二阶偏导～大神请进若u(x,y)在D内部某点处取得最小值,则这点处的的二阶偏导数大于等于0,为什么?
更新时间： 2025-08-28 17:12:00
1人问答
问题描述：
高数～关于二阶偏导～大神请进
若u(x,y)在D内部某点处取得最小值,则这点处的的二阶偏导数大于等于0,为什么?
蒋海涛回答：
这个用二元函数的泰勒展开式就很好理解及证明了：
f(x,y)=f(a,b)+f'x(a,b)(x-a)+f'y(a,b)(y-b)+1/2*[f"xx(a,b)(x-a)^2+f"yy(a,b)(y-b)^2+2f"xy(a,b)(x-a)(y-b)]+h,这里h为余项
=f(a,b)+f'x(a,b)(x-a)+f'y(a,b)(y-b)+1/2*[A(x-a)^2+C(a,b)(y-b)^2+2B(x-a)(y-b)]+h
由于f'x(a,b)=f'y(a,b)=0,
因此上式=f(a,b)+1/2*[A(x-a)^2+C(a,b)(y-b)^2+2B(x-a)(y-b)]+h
在极小值点的邻域,其值都比它大.所以极小值点相当于在邻域内A(x-a)^2+C(a,b)(y-b)^2+2B(x-a)(y-b)恒大于0.
把它看成是x-a的2次式,恒大于0,表明A>0,且判别式小于0.即为(2B)^2-4AC0
其它推荐
其它推荐
最新更新
精品分类
优秀其它推荐
热门其它