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七年级数学题!急!已知三角形ABC中,BE,CF分别为角平分线,D是EF的中点,D到BC,AB,AC的距离分别是X,Y,Z,求证X+Y=Z.
更新时间: 2025-08-29 12:33:05
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问题描述:

七年级数学题!急!

已知三角形ABC中,BE,CF分别为角平分线,D是EF的中点,D到BC,AB,AC的距离分别是X,Y,Z,求证X+Y=Z.

梁吉元回答:
  证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.   过F点分别作AC,BC上的高交于P,Q点.   根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=FP,EM=EN.   过D点做BC上的高交BC于O点.   过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点.   则X=DO,Y=HY,Z=DJ.   因为D是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME,ME=2HD   同理可证FP=2DJ.   又因为FQ=FP,EM=EN.   FQ=2DJ,EN=2HD.   又因为角FQC,DOC,ENC都是90度,所以四边形FQNE是直角梯形,而D是中点,所以2DO=FQ+EN   又因为   FQ=2DJ,EN=2HD.所以DO=HD+JD.   因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z.
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