一元三次方程的根的表达式是什么?一元四次的根的表达式?
更新时间： 2025-08-26 23:09:24
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问题描述：
一元三次方程的根的表达式是什么?
一元四次的根的表达式?
丁强回答：
塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
一元三次方程的一般形式是:x3+sx2+tx+u=0如果作一个横
坐标平移y=x+s/3,那么我们就可以把方程的二次项消去.
所以我们只要考虑形如:x3=px+q的三次方程.
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式,这里a和b是待定的参数,
代入方程,我们就有:a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到:a3-b3=(a-b)(p+3ab)+q.由二次方程理论可知,一定
可以适当选取a和b,使得在x=a-b的同时,
3ab+p=0.这样上式就成为a3-b3=q,两边各乘以27a3,就得到:
27a6-27a3b3=27qa3.由p=-3ab可知:27a6+p=27qa3,
这是一个关于a3的二次方程,所以可以解得a.进而可解出b和根x.
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费拉里发现的一元四次方程的解法
和三次方程中的做法一样,可以用一个坐标平移来消去四
次方程,一般形式中的三次项.所以只要考虑下面形式
的一元四次方程：x4=px2+qx+r.关键在于要利用参数把等式的
两边配成完全平方形式.考虑一个参数a,我们有
:x2+a)2=(p+2a)x2+qx+r+a2.等式右边是完全平方式当且仅
当它的判别式为0,即
q2=4(p+2a)(r+a2),这是一个关于a的三次方程,利用上
面一元三次方程的解法,我们可以
解出参数a.这样原方程两边都是完全平方式,开方后就是
一个关于x的一元二次方程,于是就可以解出
原方程的根x.
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