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数列定义如下:对于正整数m,是使不等式成立中的所有n中的最小值(Ⅰ)若正项数列前n和为,是与的等比中项,求及通项;(Ⅱ)若数列通项为,是否存在p和q,使得,如果存在,求出p和q的取
更新时间: 2025-08-26 21:49:38
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问题描述:

数列定义如下:对于正整数m,是使不等式成立中的所有n中的最小值

(Ⅰ)若正项数列前n和为,是与的等比中项,求及通项;

(Ⅱ)若数列通项为,是否存在p和q,使得,如果存在,求出p和q的取值范围,如果不存在,请说明理由.____

李学军回答:
  【分析】(Ⅰ)根据题中已知条件结合数列的基本性质便可求出数列an的通项公式,然后利用题中关于bn的定义便可求出数列分别讨论n为奇数和偶数时bn的表达式便可求得bn的通项公式;   (Ⅱ)存在,根据题中条件先求出p、q与m的关系可知3p-1>0(或3p-1<0)不符合条件,然后3p-1=0便可求出p值,进而求得q的取值范围.   (Ⅰ)由于是与(an+1)2的等比中项,   ∴.   当n=1时,,   ∴a1=1,   当n≥2时,,由an>0,化简有an-an-1=2   所以{an}是等差数列,an=2n-1,检验当n=1时也适合,即an=2n-1   对于正整数,由an≥m,得.   根据bm的定义可知:当m=2k-1时,bm=k(k∈N*);当m=2k时,bm=k+1(k∈N*).   ∴   (Ⅱ)假设存在p和q满足条件,由不等式pn+q≥m及p>0,得:.   ∵bm=3m+2(m∈N*),根据bm的定义可知,对于任意的正整数m都有,即-2p-q≤(3p-1)m<-p-q对任意的正整数m都成立.   当3p-1>0(或3p-1<0)时,得(或),   这与上述结论矛盾!   当3p-1=0,即时,得,解得.   ∴存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*);   p和q的取值范围分别是,.   【点评】本题主要考查了考查了数列的递推公式,学生的计算能力和对数列的综合掌握,解题时注意整体思想和转化思想的运用,是各地高考的热点,属于中档题.
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