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求证:Limsinsinsin...sinX=0(说明:sin共有n个)n→∞
更新时间: 2025-08-25 15:15:06
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问题描述:

求证:Limsinsinsin...sinX=0(说明:sin共有n个)

n→∞

宫俊回答:
  记Y1=sinx,Y2=sin(sinx),Y3=sin(sin(sinx)).通项公式是Yn=sin(Y(n-1))   很明显,所有的Yn关于x都是奇函数,又sinx∈[-1,1],所以只考虑0≤x≤π即可   首先,证明Yn的极限存在:Yn有界是显然的,又|sinx|≤|x|,所以Y1≥Y2≥Y3≥...≥Yn,所以Yn的极限存在,记为A.   其次,计算A:在Yn=sin(Y(n-1))两边令n→∞,则A=sinA,此方程只有唯一解0,所以A=0
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