【已知函数f（x）=aex，g（x）=lna-ln（x+1）（其中a为常数，e为自然对数底），函数y=f（x）在A（0，a）处的切线与y=g（x）在B（0，lna）处的切线互相垂直．（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式；（】
更新时间： 2025-08-28 10:05:25
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问题描述：
已知函数f（x）=aex，g（x）=lna-ln（x+1）（其中a为常数，e为自然对数底），函数y=f（x）在A（0，a）处的切线与y=g（x）在B（0，lna）处的切线互相垂直．
（Ⅰ） 求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ） 求证：对任意n∈N*，f（n）+g（n）＞2n；
（Ⅲ） 设y=g（x-1）的图象为C1，h（x）=-x2+bx的图象为C2，若C1与C2相交于P、Q，过PQ中点垂直于x轴的直线分别交C1、C2于M、N，问是否存在实数b，使得C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？说明你的理由．
孙书利回答：
（Ⅰ） f′（x）=aex，f′（0）=a，g′（x）=-1x+1，g′（0）=-1，…（2分）由已知a•（-1）=-1，∴a=1，∴f（x）=ex（x∈R），g（x）=-ln（x+1），（x＞-1）．…（4分）（Ⅱ） 证明：令F（x）=f（x）+g（...
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