用归纳法证明：1*4+2*7+3*10+.+n(3n+1)=n(n+1)^2(n为正整数）
更新时间： 2025-08-30 07:54:56
1人问答
问题描述：
用归纳法证明：1*4+2*7+3*10+.+n(3n+1)=n(n+1)^2(n为正整数）
桂志芳回答：
n=1时,左边=1*4=4
右边=1*（1+1）^2=2^2=4
n=1时成立
假设n=k时成立,即1*4+2*7+.k(3k+1)=k(k+1)^2
n=k+1时
左边=1*4+2*7+.k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=k(k+1)^2+(k+1)(3k+4)
=(k+1)[k(k+1)+3k+4]=(k+1)[k^2+4k+4]=(k+1)(k+2)^2
=(k+1)[(k+1)+1]^2=右边
注：这里可以直接求出结果,只需要知道
1^2+2^2+...n^2=n(n+1)(2n+1)/6
原式=∑(3n^2+n)=3[n(n+1)(2n+1)]/6+n(n+1)/2=n(n+1)[(2n+1)/2+1/2]
=n(n+1)(n+1)=n(n+1)^2
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