已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O是BC上一动点，以O为圆心，OB为半径作圆．（1）如图①若点O是BC的中点，⊙O与AC相交于点D，E为AB的中点，试判断DE与⊙O的位置关系，并证明．（2）在（1）的条
更新时间： 2025-08-20 01:40:10
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问题描述：
已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O是BC上一动点，以O为圆心，OB为半径作圆．
（1）如图①若点O是BC的中点，⊙O与AC相交于点D，E为AB的中点，试判断DE与⊙O的位置关系，并证明．
（2）在（1）的条件下，将Rt△ABC沿BC所在的直线向右平移，使点B与圆心O重合，如图②，若⊙O与AC相切于点D，求AD：CD的值．
恩云飞回答：
AB，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）如图（2），连接OD，
∵AC切⊙O于点D，
∴BD⊥AC，
在Rt△BCD中，BC=2BD，
∵sinC==，
∴∠C=30°，
∵∠A+∠C=∠A+∠1=90°，
∴∠1=30°．
令AD=a，在Rt△ABD中，AB=2AD=2a，
同理得AC=2AB=4a，
∴CD=AC-AD=3a，
∴AD：CD=1：3．
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