【已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．（1）求证：函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调减函数（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范围．】
更新时间： 2025-09-01 05:05:58
1人问答
问题描述：
已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
（1）求证：函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调减函数
（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范围．
宫良回答：
（1）证明：设x1＜x2≤0，则-x1＞-x2≥0
∵f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
∴f（-x1）＞f（-x2）
又定义在实数集R上的偶函数f（x）
∴f（-x1）=f（x1），f（-x2）=f（x2），f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调减函数
（2）当0＜x≤1时，lgx＜0
由f（1）＜f（lgx）得f（-1）＜f（lgx），函数f（x）在区间（-∞，0]上时单调减函数
∴−1＞lgx，0＜x＜110
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